■刘钝
前两篇文章分别介绍了数学家李国伟“数学文化览胜集”系列丛书中《人物篇》和《教育篇》若干内容，中的折纸本文谈谈第三本《艺数篇》。不仅
艺数是游戏近年来中国台湾数学教育与普及领域常见的一个新名词，反映了人们在数学普及活动中与艺术沟通的数学衣衫褴褛努力，眼下正呈现越来越红火的家手趋势。
李国伟特别强调“艺术不会是中的折纸异数”。按照他的不仅见解，艺数至少包含以下三方面：1.以艺术手法展示数学内容；2.受数学思想或成果启发的游戏艺术；3.数学家创作的艺术。
我很高兴前两点与自己伸张的数学“科学与艺术”实践若相契合。若干年前，家手李国伟曾在中国科学院自然科学史研究所作了《折纸几何学》的中的折纸演讲，当场做了几个演示，不仅不禁让人想起孩童时代做过的游戏一些手工游戏。他在演讲中展示的大量折纸作品的图像，令人叹服那些折纸大师巧夺天工的构思和不可思议的空间想象力。
通过书中《一张纸折出了乾坤》一文，李国伟介绍了折纸活动的数学内涵及相关历史。
一
折纸艺术最早可追溯到日本神道祭祀中的高屋建瓴纸质饰物，但是折法却多秘而不宣，目前存世的最古折纸专书《秘传千羽鹤折形》直到18世纪末才刊行。
记得幼时读过一个日本女孩的悲惨故事。受广岛原子弹爆炸辐射患上严重白血病的她，被人告知只要折出1000只纸鹤就能病愈，于是她就在病房里折起了纸鹤。事情传开之后，每天都有大量的纸鹤从全国各地寄来，但是最终小女孩也未能战胜病魔。
在中、日、韩等东亚国家，鹤是吉祥的动物，寄寓着健康、长寿、和平与美好的愿望。日本作家、诺贝尔文学奖得主川端康成有一部著名的中篇小说就叫《千只鹤》。他在谈到创作动机时说，没精打采千只鹤的图案是日本传统美的一种象征，提笔时心底“仿佛有一种观赏千只鹤在晨空或暮色之中飞舞的憧憬”。
折纸与数学的渊源，则要追溯到印度人鲁生达。如同遇到英国数学家哈代前的英国数学家拉马努金一样，鲁生达只是一个业余钻研数学的公务员，1893年他出版了小册子《折纸作为几何练习》（以下简称《练习》），内中除了处理一些直线形对象外，还提出了用折纸产生曲线上点的方法。除了《练习》之外，他还出版过一本关于初等立体几何方面的书。
德国数学大师克莱因热衷于数学普及，1895年写了《初等几何的著名问题》一书，内中对古希腊三大作图难题（倍立方、三等分任意角、化圆为方）的不可解给出了简捷的证明。
在该书第五章《代数作图的一般情形》里，克莱因提到，在只允许使用没有刻度的小巧玲珑直尺和圆规的欧几里得式作图之外，还有一种非常简单的方法，就是依靠折叠纸张达到类似目的，据说另一位德国数学家赫尔曼·维纳已经用这种方法制作出一系列正多边形。克莱因又以相当篇幅介绍了鲁生达的《练习》，折纸与几何学的议题才引发更多人的关注。
20世纪初，经美国数学史家毕曼与史密斯编辑修订，《练习》在美国出版后获得了相当广泛的流传。1931年，商务印书馆出版了《练习》的中译本，书名为《折纸几何学》，译者是陈岳生。目前国内可以找到的是日本折纸专家前川淳的同名著作。
《练习》在谈到几何学教学时说，从一般教科书的拙劣图示去理解命题，不如引导学生折叠正确的几何图形，从而使命题的正确性具备更直观的印象。
他举了一个有趣的例子。仅靠未经严格考查的理屈词穷前提，似乎可以证明每个三角形都是等腰三角形的错误在于用到了某个在三角形内部的点，但是如果用纸来折出各条线段的话，就会清楚显示该点必须在三角形之外，因此这个推论是不能成立的。
在《练习》中鲁生达利用纸上的折痕从正方形折出正三角形，进而折出正5边形、正6边形、正8边形、正9边形、正10边形、正12边形、正15边形等，这都是与尺规作图等价的几何学练习。此外，通过折痕加以推论还能推导出包括勾股定理在内的一些平面几何定理。
早在1936年，意大利女数学家贝洛西就用折纸法解出三次方程的根，相当于宣告折纸可以解决倍立方问题。20世纪70年代，先见之明日本人阿部恒首先利用折纸解决了三等分任意锐角问题；1984年，法国人尤斯丁则成功实现任意钝角的三等分。
二
在欧几里得几何中，尺规作图的理论依据是几条公设，而对折纸几何学来说，是否也能总结出一些基本的原则呢？最早从理论上考虑折纸几何的就是上文提到的尤斯丁。
1992年，日裔意大利数学家藤田文章明确归纳出6条规则，后来日本人羽鸟公士郎、美国人兰恩以及尤斯丁分别发现还有第7条规则。兰恩进一步证明了这7条规则已经构成完备系统，也就是说任何折纸作图都能通过反复利用这7条规则完成。它们也被称作折纸几何学的“藤田-羽鸟公理”。
这7条规则是：1.给定点p1与p2，可以折出通过这两点的直线；2.给定点p1与p2，可以令p1折到与p2重合；3.给定直线L1与L2，可以令L1折到与L2重合；4.给定点p与给定直线L，可以通过p折出L的垂线；5.给定点p1与p2以及直线L，可以把p1折到与L重合，一举一动同时令折线通过p2；6.给定点p1与p2以及直线L1与L2，可以同时将p1与p2分别折到与L1与L2重合；7.给定点p以及直线L1与L2，可以沿着L2的垂线，把p1折到与L1重合。
熟悉欧几里得几何学的读者立刻就能看出它们与传统尺规作图的关系。例如，第1条规则就是欧几里得的公设1（从任一点到另一任意点可作直线），第2条规则相当于命题I.10和命题I.11（作一给定线段的垂直平分线），第3条规则相当于命题I.9（作一个给定角的平分线），第4条规则相当于命题I.12（经过直线外一点作该直线的垂线），等等。
如果引入坐标系，从代数学的角度来看，利用“藤田-羽鸟公理”有能力解三次方程，而尺规作图只能处理二次方程。因此，折纸有可能解决某些欧几里得系统中绝无可能解出的作图难题。譬如前述古希腊三大作图难题之一的三等分任意角，可用折纸方法解决，木已成舟这就展现出了折纸作图胜于尺规作图之处。
“藤田-羽鸟公理”系统假设操作是在平面（即一张完美的纸）上完成的，并且所有折叠都是线性的。
李国伟在书中提到了几何学以外的一些零星趣闻，例如上面提到的那个给出完备性论证的兰恩，本是美国加州理工学院喷气推进实验室的科学家，后来辞职成为一名专业的折纸家。他编写了一套计算机程序，可以帮助设计极为复杂的折纸，他还协助美国加州劳伦斯伯克利国家实验室，利用折纸概念解决了可折叠的太空望远镜与太阳能板问题。
法国折纸名家埃里克·乔塞尔是专业艺术家，他用纸折出的爵士乐队，每个人物都栩栩如生，令人叹为观止。出生于1981年的日本人神谷哲史，早就是享誉国际的折纸大师，屡次在日本电视竞赛中斩获桂冠。
至于折纸几何理论研究的伸头缩颈先驱藤田文章，1924年生于日本，后来加入意大利国籍。他在意大利帕多瓦大学获得物理学博士学位，除了折纸外，还从事地质学与核物理学。
藤田在国际折纸界享有很高的声望，致力于该领域东方与西方、折纸数学与折纸艺术间的沟通。1989年12月在意大利费拉拉市，他成功组织召开了首次“科学、数学与教育的折纸国际会议”（The International Meeting on Origami in Science，Mathematics and Education，简称OSME），该会议此后每隔四五年召开一次。会议召开的时间与地点分别是：第二届，1994年，在日本滋贺县大津市；第三届，2001年，在美国加州蒙特雷；第四届，急流勇进2006年，在美国加州帕萨迪纳；第五届，2010年，在新加坡；第六届，2014年，在东京；第七届，2018年，在牛津。
（作者系清华大学科学史系特聘教授、中国科学院自然科学史研究所研究员）